AI-数学基础之线性代数【草稿】

线性方程组

${\begin{cases} c_{11} x_{1} + c_{12} x_{2} + \dots + c_{1 n} x_{n} = d_{1} \\ c_{21} x_{1} + c_{22} x_{2} + \dots + c_{2 n} x_{n} = d_{2} \\ ⋮ \\ c_{m 1} x_{1} + c_{m 2} x_{2} + \dots + c_{m n} x_{n} = d_{m} \end{cases}$

用矩阵表示线性方程组

系数矩阵：去掉未知数和常数形成的矩阵
$(\begin{matrix} c_{11} & c_{12} & \dots & c_{1 n} \\ c_{21} & c_{22} & \dots & c_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ c_{m 1} & c_{m 2} & \dots & c_{m n} \end{matrix})$
增广矩阵：系数矩阵加上常数
$(\begin{matrix} c_{11} & c_{12} & \dots & c_{1 n} & | & d_{1} \\ c_{21} & c_{22} & \dots & c_{2 n} & | & d_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & | & ⋮ \\ c_{m 1} & c_{m 2} & \dots & c_{m n} & | & d_{m} \end{matrix})$

高斯消元法解线性方程组

矩阵的初等变换

互换: 行互换 $R_{i j}$ ，列互换 $C_{i j}$
倍乘: 用一个不为0的常数c乘以一个方程。 $c R_{i}$
倍加: 将第i个方程倍乘后加到第j个方程。 $R_{j} + c R_{i}$

求解步骤

利用初等变换将矩阵转化为阶梯矩阵
$(\begin{matrix} c_{11} & c_{12} & \dots & c_{1 n} & | & d_{1} \\ 0 & c_{22} & \dots & c_{2 n} & | & d_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & | & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & c_{r r} & | & d_{r} \\ 0 & 0 & \dots & 0 & | & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & | & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & 0 & | & 0 \end{matrix})$

r为矩阵的秩

r = n, 则线性方程组有唯一解
r < n, 则线性方程组有无数个解
$d_{r + 1}$ != 0, 则线性方程组没有解

利用初等变换将阶梯头变成1，然后令没有阶梯头的未知数等于 $t_{1 \dots}$ ， $t_{i}为任意数，通过移项则可得出所有未知数的解

举个例子：

对于线性方程组：

${\begin{cases} x_{1} + 2 x_{2} + 3 x_{3} + 4 x_{4} + 5 x_{5} = 8 \\ 2 x_{1} + 4 x_{2} + 6 x_{3} + 8 x_{4} + 10 x_{5} = 16 \\ 3 x_{1} + 6 x_{2} + 9 x_{3} + 12 x_{4} + 15 x_{5} = 24 \\ x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5} = 3 \\ 2 x_{1} + 3 x_{2} + 4 x_{3} + 5 x_{4} + 6 x_{5} = 11 \end{cases}$

对应的增广矩阵为：

$(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & | & 8 \\ 2 & 4 & 6 & 8 & 10 & | & 16 \\ 3 & 6 & 9 & 12 & 15 & | & 24 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & | & 3 \\ 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & | & 11 \end{matrix})$

第一步： $R_{2} - 2 R_{1}$ , $R_{3} - 3 R_{1}$ , $R_{4} - R_{1}$ , $R_{5} - 2 R_{1}$

$(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & | & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 \\ 0 & - 1 & - 2 & - 3 & - 4 & | & - 5 \\ 0 & - 1 & - 2 & - 3 & - 4 & | & - 5 \end{matrix})$

第二步： $R_{5} - R_{4}$

$(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & | & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 \\ 0 & - 1 & - 2 & - 3 & - 4 & | & - 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{matrix})$

第三步： $R_{24}$

$(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & | & 8 \\ 0 & - 1 & - 2 & - 3 & - 4 & | & - 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{matrix})$

矩阵的秩为2 < 5, 且 $d_{3}$ = 0, 所以矩阵有无数个解。

第四步， $- R_{2}$ , $R_{1} - 2 R_{2}$

$(\begin{matrix} 1 & 0 & - 1 & - 2 & - 3 & | & - 2 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & | & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{matrix})$

第五步，另 $x_{3}$ = $t_{1}$ , $x_{4}$ = $t_{2}$ , $x_{5}$ = $t_{3}$ , t为任意数，则可以得到方程的解为
$(\begin{matrix} x_{1} = - 2 + t_{1} + 2 t_{2} + 3 t_{3} \\ x_{2} = 5 - 2 t_{1} - 3 t_{2} - 4 t_{3} \\ x_{3} = t_{1} \\ x_{4} = t_{2} \\ x_{5} = t_{3} \end{matrix})$